МАТЕМАТИКА ОЛИМПИАДНАЯ, НУЖНА ПОМОЩЬ

Сразу говорю: ответа не будет. Но готов предложить свои размышления на тему. Может, чем-то поможет.

Рассмотрим предельный случай суммирования всех ста чисел. Очевидно, что в этой сумме всегда будут минимум два числа, сумма которых равна 101, а именно: 100 и 1. Убираем 100 из списка. Среди оставшихся, очевидно, два числа с суммой 101 по-прежнему останутся (99 и 2). Продолжаем сокращать ряд до тех пор, пока не останется 50 чисел.

Таким образом, можно выбрать от 2-ух до 50-ти чисел в диапазоне от 1 до 100.

Дальше считаем число вариантов суммы двух чисел (среди ста), затем число вариантов суммы трех чисел и т.д. до числа вариантов суммы 50-ти чисел.

Общая формула числа сочетаний (порядок следования чисел в сочетании не важен):

Например, число вариантов суммы 20-ти чисел:

Однако для каждой Am часть вариантов выпадает. Например, для A2 выпадет 50 вариантов: 1 и 100, 2 и 99..., 50 и 51. Т.е. A2’ = A2 - 50.

Очевидно, что A3 – сумма трех чисел x,y,z – с необходимостью включает в себя и сумму двух чисел. Т.е. выпадает 50 вариантов для пары xy, 50 для пары xz и 50 для пары yz, итого A3’ = A3 - 3*50

Для A4 выпадут уже шесть пар по 50 вариантов: xy, xz, xw, yz, yw, zw (1,2,3,100; 1,2,3,99; и т.д.)

Итого A4’ = A4 – 6 * 50

Продолжая рассуждать в том же духе, получим общую формулу для коррекций, выпадающих из подсчета (а она та же, что и выше):

Таким образом, N = A2’ + A3’ + … + A50’

Или N = A2 - S2 + A3 - S3 +… + A50 - S50.

N+k = A2 - S2 + A3 - S3 + … + A50 - S50 + k

Выражение в правой части должно делиться на 243.

Как проверить делимость на 243?

Свойство: Если a1 делится на b и a2 делится на b, то a1+a2 тоже делится на b.

В нашем случае это не работает. Т.к. уже A2 на 243 не делится.

Едем дальше.

Все A содержат 100 в числителе, а все после A9 – 10 в знаменателе.

Следовательно, все Аm после A9 точно заканчиваются на 0. Проверка также показывает, что и все остальные, кроме А4 заканчиваются на 0. А4 на 243 не делится.

Далее рассмотрим коррекции Sm.

Все S являются умножением на 50. А 50 не является делителем 243. Более того, среди делителей 50 нет ни одного делителя 243 кроме единицы: (1, 2, 5, 10) и (1, 3, 9, 27, 81, 243)

Следовательно, ни одно Sm не делится на 243.

Сумма Sm тоже не делится на 243.

В числителе имеем прогрессию: n * (n+1). Т.е. n-ый член равен n^2 + n

Сумма первых n членов прогрессии:

По формуле сумм арифметической и геометрической прогрессий получаем:

Итого, сумма всех корректировок равна S=( 50*51*52/3 ) * 50 = 44200 * 50

На 243 не делится.

Таким образом, мы получили, что ни одно слагаемое нашей N+k не делится на 243. Т.е. делиться может только их сумма при условии правильного значения k.

Дальше моя мысль останавливается. Нужно как-то раскрывать вот это выражение, упрощая факториалы:

Как-то бином Ньютона применять? Соответствующие лекции в вузе я, увы, прогулял.