Такая вещь, как квадрат и куб некого числа была извесна еще в Древней Греции. Собственно, оттуда она и пошла, потому что древние греки очень-очень сильно любили математику. Согласитесь, сразу же в голову приходит теорема Пифагора.
А вот если говорить про квадратные уравнения, то они были придуманы прежде всего для создания графиков функций. Парабола довольно часто встречается в природе. Любой брошенный предмет, за отсутствием внешних раздражителей типо ветра и т.п., будет лететь по параболе. Видимая часть радуги является параболой. И чтобы все это описать математически и алгебраически, надо использовать квадратное уравнение.