Вы как-то все в одну кучу свалили. Давайте по порядку.
1) Инструменты в 16-17вв уже всё-таки были. Да, они гораздо примитивнее, чем сейчас, но всё-таки часы, например, уже делать умели, моряки пользовались астрономическими приборами и компасом, архитекторы умели рассчитывать конструкции… Военные применяли огнестрельное оружие. Это все требует определённых знаний, навыков и наличия некоторых инструментов. Я уж не говорю о том, что рычаги, блоки, некоторые вопросы гидродинамики, оптики, даже электричества и реактивного движения (например паровые турбины) были известны с античных времен. Не такие уж тёмные были люди в этотвремя. Просто не все обладали этими знаниями.
2) Хотя интегральное исчисление и было сформулировано Ньютоном и Лейбницем в 17в, но само интегрирование уже было известно и производилась с древних времен. Просто в 17в эти знания обобщили и чётко сформулировали. Сам термин придумал физик Бернулли, а знак интеграла - математик Лейбниц.
3) Развивались интегралы, конечно, прежде всего для вычисления площадей, что и неудивительно. Потом уже с возникновением интегрального исчисления и установлением его связи с дифференцированием, это понятие стали применять значительно шире.
4) К линейной алгебре интегралы не имеют прямого отношения. Интегралы - это понятие математического анализа.
5) Как я уже сказал, понимание вопросов интегрировпния приходило постепенно с древних времен. Тогда понятия интеграла ещё естественно не было, но было понятие квадратуры… Но в виде законченной математической теории понятие интеграла было сформулировано именно в 17в.