Какие здесь ошибки? «Мой вектор в развитии карьеры: профессионально расти. В моей работе, мне помогает умение - брать ответственность, идти на компромиссы».?

Грамматические и пунктуационные.

Вектор развития моей карьеры - профессиональный рост. В работе мне помогают ответственность и умение идти на компромиссы.

1. Правильнее вариант "вектор развития МОЕЙ КАРЬЕРЫ", потому что так сохраняется логика принадлежности (ВАША скорее карьера, а не вектор развития). Первый вариант с акцентом на способе развития тоже допустим, но в этой формулировке звучит не очень (и вряд ли он вам нужен).
2. ВЕКТОР РАЗВИТИЯ вместо "вектор в развитии".
3. ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ РОСТ больше подходит, поскольку в данном случае наиболее гармонично сочетание двух существительных ВЕКТОР - РОСТ. 
4. Пунктуационная ошибка: двоеточие вместо тире. На месте знака подставляется "это", а не "а именно". Двоеточие было бы уместно при перечислении нескольких векторов развития.
5. Местоимение "моей" в начале второго предложения является избыточным: текст и так перенасыщен им ("мой" -> "моей", "мне").
6. Пунктуационная ошибка: лишняя запятая, загадочным образом отделяющая обстоятельство от подлежащего и сказуемого.
7. ПОМОГАЮТ два подлежащих: ответственность и умение идти на компромиссы.
8. Пунктуационная ошибка: лишний знак "-". Здесь можно было бы поставить ":"(мне помогают следующие качества и навыки: ответственность, умение идти на компромиссы, ..., ... и т. д.).
9. ОТВЕТСТВЕННОСТЬ - это не умение, а качество человека, поэтому неправильно его причислять к навыкам.
   Вроде всё.