Какие существуют тайные общества помимо масонов, не являющиеся сектами?

Их сотни. В каждой стране, составом от пары человек до нескольких тысяч, локальные и международные. Но важно разделять, какие из них были, а какие есть сейчас. Потому что в основном они очень краткосрочные и распадаются после смерти основателя. Исключения из этого правила как раз и делают их знаменитыми.

В наше время большинство всех этих обществ концентрируются вокруг масонов, и те же люди, кто состоит в масонстве, обычно составляют костяк всех прочих обществ. Различий между ними всеми не очень много, потому что их ритуалы, книги и идеи списаны, в основном, с масонских организаций.

Есть розенкрейцеры, мартинисты, различные ордена Иоаннитов, нео-тамплиеров, Тевтонских рыцарей, рыцарей Калатравы, Гроба Господня, Чертополоха, Святого Андрея, Святого Духа. Также есть Пифагорейский орден, нео-иллюминаты, нео-друиды, викканские ордена, магические ордена самого разного вида - традиции Алистера Кроули и его учеников (так или иначе все магические ордена с ней связаны) и т.д.

Есть огромное количество американских студенческих братств со своими ритуалами, а также прочих американских обществ и орденов от Рыцарей Пифия до Ордена Пробки и "обществ греческих букв" типа Каппа-Бета-Каппа, они все имеют ритуалы, взносы и банкеты для своих.

При католической церкви продолжают существовать иезуиты и общество Опус Деи. Есть альтернативные церкви, которые функционируют скорее как закрытые светские общества. Вообще в наше время слово "тайные" лишено смысла, они все присутствуют в интернете, но слово "закрытые" продолжает их характеризовать.

Все приставки "нео" означают, что эти общества были в старину, потом исчезли, а потом (обычно в конце XIX века) новые группы людей взяли себе эти названия.