Их огромная куча! Тут выборка тех, которые можно объяснить в 2-х предложениях. Давайте начнём с ближайшего космоса.
UPD. Обратите внимание, я ввёл некие правки курсивом после правильных слов, написанных ниже Борисом Штерном.
Обрезание пояса Койпера
После 50 а.е. (где заканчивается пояс Койпера) непонятным образом резко возрастает число больших объектов (где-то в 2 раза).
Нагрев солнечной короны
Корона - это довольно обширная область, заполненная плазмой, прямо над поверхностью Солнца. Температура плазмы там почему-то достигает более миллиона градусов, тогда как температура самой поверхности где-то около 6000. Что происходит в общих чертах понятно - всяческая магнитогидродинамика.
Жизнь на Марсе или на других объектах Солнечной Системы
Тут, собственно, понятно. Есть ли жизнь хоть в какой-нибудь форме?
Пролётная аномалия
Очень много спутников используют т.н. гравитационный маневр, чтобы улетать на большие расстояния. Рассчитывается всё с высочайшей точностью, но есть небольшое, совсем незначительное отклонение, не влияющее на траекторию спутника, но заметное для чувствительных приборов. Кажется, что мы не учитываем какую-то дополнительную (незначительную) массу. Некоторые предполагают, что это гало тёмной материи вокруг Солнечной Системы.
Ферми пузыри
Относительно недавно (2010) FERMI/LAT увидел странные структуры над нашей галактикой, излучающие в рентгене и гамма. Возможно [совершенно точно] это следы давней активности чёрной дыры нашей галактики, но пока неясно.
Парадокс Ферми
Собственно, раз так много звезд в галактике, вокруг большинства, скорее всего, должны быть планеты, то хотя бы на какой-то части из них должна быть жизнь. Но тогда почему мы не ловим никакие сигналы от них?
Есть ли вблизи взорвавшаяся сверхновая
Наблюдения космических лучей указывают, что окрестность Солнечной Системы очень странная (не соответствует среднему галактики). Все идет к тому, что где-то вблизи (~100 пк) есть взорвавшаяся примерно 2 млн лет назад сверхновая. На это также намекает большое количество найденных изотопов 60Fe на дне океана, которым тоже где-то 2 млн лет.
Тёмная материя
Извечный вопрос. Что все-таки такое тёмная материя. Я недавно для ПопМех делал большой обзор гипотез с опровержениями. В итоге все сводится к тому, что это по большей части (>90%) "холодные" частицы типа WIMP или аксионов, которые ищут сейчас в различных экспериментах.
Как взрывается сверхновая?
Феноменологически примерно на пальцах понятно, как взрыв происходит. Но до сих пор нормальной модели того, как коллапс в какой-то момент останавливается и превращается в мощный взрыв - нет. UPD: судя по некоторому инсайду, у одной из небезизвестных групп появилась более-менее состоятельная вычислительная модель (если появятся публикации - добавлю сюда).
Где скрытые барионы?
Даже если учесть тёмную материю, где-то половина, а у некоторых галактик типа M33 и все 90%, оставшейся обычной (барионной) материи находится непонятно где (не в звездах). Скорее всего, речь идёт о газе и пыли, но наблюдать явно и считать массу довольно трудно.
Информационный парадокс чёрных дыр
Если черные дыры действительно существуют в том виде, в котором мы их представляем, то мы сталкиваемся с парадоксом потери информации, что недопустимо с точки зрения любой квантовой теории поля. Две черные дыры образованные из 1 кг атомов водорода и 1 кг, скажем, гелия - абсолютно неразличимы. Тем самым теряется любая информация о том, что попало в черную дыру, а точнее эта информация трансформируется в излучение Хокинга с поверхности черных дыр.
Природа OMG частиц
Эти частицы ловили еще в 90'х, но недавно их стали ловить больше. Это частицы с энергиями от EeV до ZeV (это 10^18 до 10^21), т.е. в миллион и миллиард раз больше, чем когда либо получавшиеся энергии на LHC (~ 1TeV). Вроде какие-то частицы локализовали и сказали, что это от блазара Mrk-421, но даже в этом случае, не ясно, как такое страшное ускорение там вообще получается.
Природа гамма всплесков
Это весьма короткие сигналы (от миллисекунд до часов), в которых моментально освобождается энергия, сопоставимая со всей энергией излученной Солнцем за весь её жизненный цикл. Механизм (излучения) абсолютно непонятен.
Природа быстрых радио всплесков
Это, опять же, весьма быстрые всплески интенсивности в радио области. Таких событий известно всего от силы 20 штук и поэтому они очень плохо изучены. Пока никакой ясной информации о том, что это - нет. UPD: уже наблюдали гораздо больше, для некоторых объектов даже регулярно, но ничего яснее не стало.
Была ли инфляция?
Это главный или один из главных вопросов современной космологии. Сейчас принято считать, что она все же была, уже подразделяют даже различные периоды внутри самой инфляции. Но пока прямых наблюдений не было (BICEP2 сильно облажались в этом плане). Если она была, то пока неясно, как и почему она остановилась (последнее предложение не совсем правильно, остановку считали).
Вселенных много или она одна?
Это скорее околофеноменологические спекуляции, нежели теории, но какие-то радикальные наблюдатели все же ищут следы присутствия "соседних" Вселенных.
Почему есть асимметрия частиц/античастиц? a.k.a. Барионная асимметрия
Почему обычной материи из которой состоим мы вокруг нас больше, чем антиматерии? Возможное решение состоит учете возможности нарушения C-P инвариантности, но такое нарушение происходит только в очень редких конфигурациях и этого было бы недостаточно для такой большой асимметрии. Так что вопрос пока открыт.
Тёмная энергия
Космологические наблюдения показывают, что наша Вселенная расширяется с ускорением. С точки зрения чистой "кинематики" для этого необходимо, чтобы примерно 70% нашей Вселенной имело отрицательную плотность энергии. Что это за консистенция, которая имеет отрицательную плотность энергии - непонятно.
Аномальный хаббловский поток
Галактики находящиеся на одинаковых расстояниях должны иметь примерно одинаковое красное смещение (скорость удаления от нас), однако для многих галактик это оказывается не так, и у них помимо скорости "убегания" из-за расширения Вселенной, есть другая странная компонента скорости. Если структурировать данные, оказывается, что, скорее всего, на расстоянии 65 Мпк есть какой-то странный объект (a.k.a. great attractor) массой в десятки тысяч масс Млечного Пути, который и влияет на их движение. Что это, пока неясно.
Каково будущее Вселенной?
Сценариев, на самом деле, очень много. Может ли быть так, что Вселенная в итоге расширится до тепловой смерти, все упадет в черные дыры, потом черные дыры излучатся и кроме фотонов у нас ничего не будет? Или произойдет т.н. Big Rip и скорость расширения станет настолько большой, что даже ядерные силы не смогут удержать частички друг с другом и материя разлетится на кварки? Но дело в том, что ускоренное расширение - очень нестабильная фаза, во время нее возможно интенсивное рождение частиц в вакууме (как говорят люди типа Малдасена). Когда-то (во время инфляции) Вселенная-таки уже остановила такое интенсивное расширение, быть может и теперь остановит? А может вообще в какой-то момент начнется обратный отскок, и Вселенная начнет сжиматься обратно? Или может Вселенная живет такими циклами (как пишет Пенроуз)? В общем, это непонятно.
Это далеко не полный список, который я когда-то составлял для публикации у себя в блог. С каждым днём что-то становится ясно, но появляется ещё куча вопросов. Так что можете следить здесь.
P.S. Могу ещё подкинуть непопсовые вопросы.
Природа джетов
Непонятно как генерируются, затем коллимируются и распространяются джеты как от активных ядер, так и в звёздных системах. Непонятно, как ультрарелятивистские джеты активных ядер галактик разгоняются (и излучают) до таких энергий.
Магнитосфера пульсаров
Модели радио-излучения пульсаров до сих пор не существует. Достаточно состоятельная модель должна будет объяснять, как где-то глубоко внутри пульсаров генерируется высоко-когерентное очень энергичное радио излучение. Этим вопросом люди занимаются с года открытия пульсаров в 1968, но до сих пор никто не придумал ни одной полностью состоятельной модели.
И строение нейтронных звезд всё ещё не до конца понятно, кстати :)
Их огромное количество например в галактике 3c303 учёные обнаружили огромный источник электрического тока достиющий 10в18 степени ампер, да даже насчёт большого взрыва учёные продолжают спорить.