Какие языки программирования применялись при создании Slither.io, Agar.io?

Технологии HTML5, называются Canvas., для сети используется WebSocket.

Две игры разные, но все же, используют в качестве основного языка, как говорят, "pure javascript", то есть чистый JavaScript - язык программирования динамичного фронт-енда в вебе. С помощью него и популярных библиотек (jQuery, например) страницы обычно делают более функциональными, реализуют прокруточки и анимашки.

Производительность браузеров сегодня достаточна, что бы с помощью JavaScript и новомодных фич HTML5 создать такие игры. Собственно, это одни из первых таких игр.

Говоря про мобильные версии этих игр, нет возможности это проверить, но коли они совершенно ничем не отличаются (функционально), если это так, скорее всего они работают на основе компонента, эмулирующего браузер или JavaScript, то есть не адаптировались или адаптировались на том же языке.

Что за начинка на серверах - C++ с использованием библиотеки libuv.

По поводу навыков - отличное знание клиентского JavaScript и общий навык игровых циклов необходим. То есть, по сути, немного гейм-девелопмента и немного веб-программирования под клиента. Ну и, конечно, понадобятся знания WebSocket и серверного программирования для игр, если нужна сетевая синхронизация. Для разработки сетевых протоколов и бекендов, обычно, работает отдельный разработчик.

Рекомендую прочитать: http://www.awwwards.com/current-state-and-the-future-of-html5-games.html (2014)