Как всадницы сидят на лошади «боком» и не падают?

Это называется, как ни странно, дамская езда.

"По-английски дамское седло называется боковым. Это связано с тем, что на первых дамских седлах приходилось сидеть боком. К мягкому сиденью-подушке приспособили дощечку, на которую дама могла поставить свои ноги.   Активно ездить в таком седле было невозможно. И всадницу сопровождал мужчина, который вел лошадь под уздцы.  Иногда дама ехала сидя боком позади кавалера, что и сейчас можно видеть в шоу испанских лошадей."

"Поначалу и мужчины, и женщины ездили на обе стороны. Дамские седла появились не сразу. По некоторым сведениям, в IX, а по другим, в XII веке нашей эры женщины ездили на мягком седле - фактически на подушке, к которой где-то в это же время приспособили дощечку, на которую дама могла поставить свои ноги. Как правило, кавалер под уздцы вел лошадь, на которой таким образом ехала дама. Иногда дама ехала, сидя боком за кавалером"

Более подробно про сам процесс можете почитать вот здесь, например: https://www.equestrian.ru/1434

Также существует «10 золотых правил» правильной посадки в дамском седле:

1. Сидя в боковом седле, распределяйте вес на правом бедре.
2. Правая нога должна свободно располагаться на верхней луке. Расстояние от верхней луки ло места под коленкой  должно быть не менее 2 см.
3. Левое бедро должно быть выдвинуто вперёд так, чтобы за ним всё тело подалось вперёд, это даст возможность распределить вес на правом бедре.
4. Держать плечи развёрнуто и прямо, не сгибаться в талии.
5. Спину держать прямо, затылок стремиться вверх.
6. Левая пятка опущена вниз, а левое колено прижато к седлу.
7. Не опускать подбородок вниз, смотреть прямо перед собой.
8. Стремя требуется только для отдыха левой ноги, не переносить в него вес  тела.
9. Баллансировать на правом бедре и не сжимать луки седла коленями.
10. Кисти рук держать свободно, а локти прижаты к талии.