Грамматика возникла одновременно с языком. И общие места в грамматике всех или большинства языков, конечно, присутствуют.
Грамматические значения отражают связи между объектами в реальности и позволяют конструировать осмысленные высказывания. Вы наверняка знаете, что падежи в русском языке — не для красоты, а чтобы понимать, кто над кем какое действие произвёл. Для того, чтобы возникла первая фраза, у человека в голове должна была сложиться простейшая грамматическая система. Это ответ на первую часть вопроса.
Мысль о том, что во всех языках есть общие черты (в том числе в грамматике), приходила в голову многим учёным. В первую очередь мне вспоминаются два имени — Джозеф Гринберг и Ноам Хомский. Первый разработал теорию «универсалий» — то есть закономерностей, присущих всем языкам. Например, во всех языках есть местоимения (или дейксис вообще). Или посложнее: языки с доминирующим порядком VSO характеризуются наличием предлогов. А второй — теорию «универсальной грамматики», предположение о том, что у человека есть генетически обусловленные механизмы понимания базовых грамматических категорий. То есть любой ребёнок довольно легко овладевает любым языком потому, что в нём это заложено.
Надеюсь, объяснил не слишком сложно, но и не наврал.