Для того, чтобы стать хорошим и востребованным преподавателем английского языка необходимо выполнить два условия:
Еще раз подчеркиваю: для того, чтобы преподавать язык, необходимы оба этих компонента: владение языком и умение преподавать. Это два совершенно разных аспекта.
Для того, чтобы получить международно признанную преподавательскую квалификацию базового уровня нет необходимость учиться в университете. Достаточно пройти интенсивный курс подготовки. Однако, чтобы успешно отучиться на курсе и получить сертификат, который имеет широкое признание во всем мире, необходимо владеть английским языком как минимум на уровне Advanced.
Подробнее об одной из наиболее широко распространенных в мире базовых преподавательских квалификаций Cambridge CELTA читайте в этой заметке.
Диплом российского университета будет плюсом, но в российском вузе вы получите больше теоретические знания, в то время, как курсы CELTA и аналогичные им дают практический опыт планирования и проведения эффективных уроков.
Да без ВУЗа преподавать - это как без обучения в ВУЗе после курсов медсестер идти оперировать людей.
На мой взгляд, невозможно преподавать язык основной базы методики преподавания ИЯ, педагогики и психологии. Курсы, сертификаты, вебинары и т.п - это всё хорошо в дополнение к высшему педагогическому образованию.