В давние времена никто не думал о том, чтобы вот тут, на таком-то клочке взять, да и остаться, ибо и так хорошо. Нет, любое государство считало за благо расшириться, когда была возможность. Если бы Швейцария не была окружена со всех сторон развитыми государствами, и, одновременно, огорожена от них горами, а имела бы в каком-то направлении необъятные пространства, населённые малочисленными народами, а точнее, племенами, находящимися на более низкой ступени развития, то её бы история могла бы пойти по примерно тому же пути. С демографией в ту пору было всё в порядке, и размножались как могли, поддерживая не только воспроизводство поколений, но и прирост (несмотря на все смуты и кризисы).
Вообще-то страстным желанием было получить земли на западе - бывшей Киевской/Древней Руси. Но тут были серьёзные противники, которые могли дать отпор, а то и сами оттяпать что-то. Поэтому компенсировали тем, что на Востоке.
Не нужно забывать, что на новых территориях, как минимум, были ресурсы в виде пушнины. Но довольно скоро выяснилось, что и полезные ископаемые там имелись в изобилии.
Два первых ответа содержат правильные моменты. И интерес государства. Но также и попытки от этого государства сбежать. Крепостные пытались эвакуироваться от дальнейшего закрепощения. И старообрядцы не все хотели сгореть добровольно, или не совсем, или быть замученными ещё каким-то образом. Когда же власть их настигала, то, как и в случае с казаками, решила, что разумнее будет не карать, и возвращать помещикам/силовым органам, а оставить на месте в качестве своего оплота.
Сопротивляться этой колонизации было почти некому. Хотя чукчи, например, показали не просто характер, а даже крутизну его. Но так-то, после подавления татарских государств, сопротивляться местные народы особо не могли. Бывали достаточно драматичные моменты, а не то что бы всё проходило тихо и гладко. Прославленные В.Поярков и Е.Хабаров по нынешним понятиям выходили беспредельщиками-отморозками. Дауры (был раньше такой народ в пределах нынешнего российского Дальнего Востока) настолько прониклись "цивилизацией" пионеров, что предпочли сбежать в цинский Китай, где, как известно, тоже щепетильностью не отличались. (Особое впечатление произвело решение людьми В.Пояркова продовольственного вопроса - гляньте у тёти Вики). Больше Даурии не существует.
Хозяйства в ту пору велись натуральные; практиковалось самообеспечение. А потому думали, что и сколько можно выжать с вновь полученных территорий, а не о том, какие дотации им выделить из федерального бюджета, чтобы поддержать на плаву.
Правда деньги от продажи Аляски до России, говорят, так и не доплыли. Утонули