Как решиться продать свою квартиру и переехать жить в другой город в 19 лет?

Соглашусь с предыдущим ответом - сначала нужно как минимум некоторое время пожить в городе, который интересен с точки зрения переезда.
Чтобы как минимум оценить районы, найти каких-то друзей, определиться с планами, чем зарабатывать на жизнь в этом городе.

Для этого не обязательно перед переездом продавать свою квартиру. Потому что сколько бы вы ни получили при продаже, в новом городе деньги будут очень быстро утекать. Потому что вам нужно будет покупать в новое жильё какие-то предметы обихода, питаться и т.д.
Если это крупный город, который по инфраструктуре сильно превосходит предыдущий, то затраты на питание могут возрасти в несколько раз. Не только из-за разницы в ценовой политике магазинов (чаще всего там будут примерно такие же цены), а в первую очередь из-за желания сэкономить на времени и заказать на дом пиццу/суши/прочее.

Поэтому квартиру лучше продать уже после решения о том, что новый город точно вам подходит и у вас там есть перспективы. Лучше на деньги от продажи купить недвижимость на новом месте, чем проесть эти деньги за полгода-год.