Довольно примитивно. На магнитной дорожке закодирован ваш номер счета в банке. Он же закодирован в той числовой последовательности, которая написана на карточке. Когда вы вставляете карточку в устройство, оно связывается с банковским сервером и сообщает, что по этому счету сейчас будет транзцакция. Сервер ее выполняет.
Ну, это в общих чертах.