Вставлю свои полкопейки. 8)
Как вытекает из предыдущей фразы, правильным вариантом будет «Я взял свои полстакана сока».
Стаканчик - это уже рюмка. Сочетание "полстаканчика" звучит напрягающе.
Интересно. Я часто употребляю слово "полстаканчика" в контексте заказов напитков, оно никогда не вызывало удивление.
Добрый день, Герман! В своей жизни я никогда не слышал, чтобы использовалась подобная фраза с притяжательным местоимением. Лично я бы выразился «я взял пол-стаканчика сока».