Можно, если проблема только с экраном и нет напрочь забытого пароля на вход в систему.
Потребуется специалист который сможет включить старый телефон и получить доступ к хранящимся там файлам, чтобы их скопировать на другой носитель.
Чтобы это сделать, скорее всего, телефон придётся привести в рабочее состояние, хотя бы на время копирования данных, как минимум рабочий экран подключить, чтобы доступ к файлам телефона организовать.
В ремонт сотовых телефонов обратитесь. Просите не ремонт телефона, а именно скопировать файлы с телефона. При наличии технической возможности, сделают. Должно обойтись дешевле, чем полноценный ремонт старого телефона.