Я обычно объясняю как в учебниках: дифференцирование — определение скорости процесса, а интегрирование — обратно, определение целого по мгновенным скоростям. Например, есть у нас бассейн и его наполняют водой. Мы можем определить сколько воды прибавилось за каждую минуту, секунду, десятую долю секунды и так далее. Чем меньше интервал, тем ближе мы к мгновенной скорости заполнения. В конце концов получим производную. Ее отлично видно на спидометре машины, стрелка показывает именно мгновенную скорость.
И обратно, если мы знаем мгновенные скорости в каждый момент времени, то можем определить сколько воды налилось в бассейн за весь период наблюдения. При этом мы не знаем сколько в нем было до начала, поэтому конечный объем воды не знаем, но сколько налили определить можем (это про первообразную, которую определяют с точностью до константы).
В качестве процесса можно выбрать что угодно, от банального движения до скорости протекания химической реакции или скорости чтения книги (хоть чтение и дискретный процесс, для объяснения "на пальцах" подходит).
В качестве бонуса могу привести красивое объяснение разницы между интегралами Римана и Лебега: предположим, что у нас есть мешок монет и нам надо его пересчитать. Если мы будем брать по одной монете и суммировать, то будем считать интеграл Римана. А если мы отсортируем монеты по достоинству и посчитаем сколько монет каждого достоинства было в мешке, а затем умножим на достоинство и сложим, то повторим вычисление интеграла Лебега.
Боже мой, какая же я тупая!!! 😱