Как не думать каждый день о том, что когда-нибудь умрешь? Реально ли побороть страх смерти без психологов, самостоятельно, если с другими страхами справляться удается?

С последнего вопроса - реально, многие это делали ещё до возникновения формальной психологической помощи. Правда, стоит заметить - по большей части за счёт религиозных или иных сверъестественных верований (т.е. это как бы смерть "ненастоящая", или не полная - тело погибает, а душа некая переселяется ещё куда-то и т.п.).

Этим вопросом в рамках психотерапии традиционно занимается так называемый экзистенциальный подход. В котором смерть и смертность (гарантированная конечность существования) - одна из центральных данностей для всех.

Подход продвигается такой, что стоит не избегать подобных мыслей, а столкнуться с ними и достичь какого-то лично для Вас работающего разрешения этой проблемы. В конце концов, заметно, что Вы (как и многие другие) не просто думаете о том, что умрёте - а пытаетесь найти какой-то ещё ответ на дополнительные вопросы (напр. "Я не должен умирать, это неправильно").

Можете, кстати, прочесть классическую книгу И. Ялома "Экзистенциальная психотерапия", она в Сети есть. Как минимум, раздел собственно об этой теме заслуживает внимания.