Как найти площадь круга?
Геометрия
Анонимный вопрос · · 160,8 K
Как бы я вычислял площадь круга, будь я древним геометром
Древние философы и математики не знали дифференциального и интегрального исчисления, пользовались ограниченным набором инструментов.
Круг — колесо, а колесо должно двигаться… Длину окружности (колеса) легко получить, катая его по поверхности, измеряя пройденное им расстояние и поделив полученный результат на количество оборотов колеса. Я, древний учёный, знаю, что длина окружности равна 2πR.
Разместим круг-колесо на горизонтальной поверхности.
Следующий шаг делали многие… на бумаге, статично. Мы проделаем это с движением. Разделим круг по вертикали на две равные половины и дадим им двигаться, каждой в своём направлении. Когда половинки остановятся в точках равновесия, мы увидим следующую картину.
Прокатившись, каждая половина пройдёт путь, равный четверти длины окружности колеса. Суммарный пройденный путь равен πR.
Посмотрим внимательно и обратим внимание на образовавшийся прямоугольник, углами которого являются точки соприкосновения половинок с поверхностью и центры окружностей половинок.
Получившийся прямоугольник (выделен чёрным цветом) имеет длину πR и высоту R. Его площадь равна πR².
Утверждение: Площадь этого прямоугольника и есть площадь данного круга.
Почему площадь этого прямоугольника эквивалентна площади данного круга? Для доказательства воспользуемся следующим рисунком. Возьмём правую половину прямоугольника.
Если площадь криволинейной трапеции ABED равна площади сектора BCE, которая (если формула верна) равна πR²/4, то наше утверждение, что площадь прямоугольника эквивалентна площади круга, верно, а формула площади круга πR² верна.
Для определения площади криволинейной трапеции вычтем из площади прямолинейной трапеции площадь сегмента сектора, которую можно вычислить, если из площади сектора вычесть площадь треугольника BCE. В результате несложных алгебраических вычислений мы получаем - площадь криволинейной трапеции равна πR²/4, т.е. равна площади сектора. чтд.
Могу продолжить и сделать второй шаг, но, думаю, вы уже и сами догадались, как это сделать…
Площадь круга равна прямоугольнику где один катет равен длине окружности----второй радиусу---первый постулат Архимеда----
Уважаемая Людмила Леонидовна, зачем столько ошибок в коротком комментарии? 1. Площадь не может равняться фигуре; 2. У прямоугольника нет катетов; 3. Слышал о постулатах Эвклида, а о постулатах Архимеда хотелось бы услышать от Вас; 4. Слышал об утверждении Архимеда, что "Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен длине окружности данного круга, а второй - его радиусу". Хотя, это утверждение относится к любому треугольнику, у которого одна сторона равна длине окружности, а высота, проведённая к этой стороне, равна радиусу круга.
Подобных утверждений может быть множество, например, ещё одно:«Площадь круга равна площади трапеции, у которой высота равна радиусу круга, а полусумма оснований равна длине его окружности». Вот только доказать это не получается и Архимед никаких доказательств не привёл. Нет их и у меня, но не поспоришь. Предполагаю, что Архимед, делая это утверждение, знал формулу площади круга и, будучи наблюдательным человеком, просто обратил на это внимание и озвучил.
Почему Архимед выбрал именно треугольник, и именно прямоугольный в качестве аналога площади круга из множества других? Возможно, всё связано, опять же, с движением колеса.
Колесо делает один оборот. Тут как раз и появляется треугольник Архимеда (рис.E). Если посмотреть внимательно, можно заметить его вершины: точка касания колеса с поверхностью в начальной точке движения, точка касания колеса с поверхностью и ось колеса в конечной точке.
Интересно, что площади треугольников в разных фазах движения колеса равны площадям тех частей колеса, которые прошли этот путь (B - четверть, C - половина, D - три четверти, E - полный оборот). Можете убедиться сами.
Площадь круга
S(круга)=πR²,
π ≈ 3,1415926535
Длина окружности
P=2πR
Объём цилиндра
V=πR²*h,
πR² - площадь круга,
h - высота цилиндра. Читать далее
1 эксперт согласен
Олег Нохрин
15 янв 2022подтверждает
Всё верно.
Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.
Если известен радиус, то по формуле: S=πr² (где r - радиус).
Если известен диаметр, то по формуле: S=¼πd² (где d - диаметр).
Если известна длина... Читать далее
s-площадь r-радиус это и так понятно.....а остальное что и откуда.......
площадь круга ПР в квадрате нельзя измерить с абсолютной точностью,ибо число П бесконечно... А может тогда измерять площадь в пикселях? (Запатентовано!)
Число пи конечно, и площадь может быть выражена абсолютно точно. К примеру, площадь круга радиуса 1/√π строго равна 1.