Как найти площадь круга?

Как бы я вычислял площадь круга, будь я древним геометром

Древние философы и математики не знали дифференциального и интегрального исчисления, пользовались ограниченным набором инструментов.

Круг — колесо, а колесо должно двигаться… Длину окружности (колеса) легко получить, катая его по поверхности, измеряя пройденное им расстояние и поделив полученный результат на количество оборотов колеса. Я, древний учёный, знаю, что длина окружности равна 2πR.

Разместим круг-колесо на горизонтальной поверхности.

Следующий шаг делали многие… на бумаге, статично. Мы проделаем это с движением. Разделим круг по вертикали на две равные половины и дадим им двигаться, каждой в своём направлении. Когда половинки остановятся в точках равновесия, мы увидим следующую картину.

Прокатившись, каждая половина пройдёт путь, равный четверти длины окружности колеса. Суммарный пройденный путь равен πR.

Посмотрим внимательно и обратим внимание на образовавшийся прямоугольник, углами которого являются точки соприкосновения половинок с поверхностью и центры окружностей половинок.

Получившийся прямоугольник (выделен чёрным цветом) имеет длину πR и высоту R. Его площадь равна πR².

Утверждение: Площадь этого прямоугольника и есть площадь данного круга.

Почему площадь этого прямоугольника эквивалентна площади данного круга? Для доказательства воспользуемся следующим рисунком. Возьмём правую половину прямоугольника.

Если площадь криволинейной трапеции ABED равна площади сектора BCE, которая (если формула верна) равна πR²/4, то наше утверждение, что площадь прямоугольника эквивалентна площади круга, верно, а формула площади круга πR² верна.

Для определения площади криволинейной трапеции вычтем из площади прямолинейной трапеции площадь сегмента сектора, которую можно вычислить, если из площади сектора вычесть площадь треугольника BCE. В результате несложных алгебраических вычислений мы получаем - площадь криволинейной трапеции равна πR²/4, т.е. равна площади сектора. чтд.

Могу продолжить и сделать второй шаг, но, думаю, вы уже и сами догадались, как это сделать…