Как лекарства действуют, если попадают в желудок (например, как сироп «помогает» лёгким)?

Значит так. 
Для начала стоит понимать, что в основе разных препаратов, тех же сиропов от кашля, лежат разные действующие вещества. И у них разные механизмы действия, само собой. 
Дабы не тратить ни мое ни ваше время, ибо препаратов от кашля сейчас вагон и маленькая телега, приведу общую классификацию средств от кашля по механизму действия.
Итак, противокашлевые средства бывают центрального и периферического действия. К центральным относят те, которые всасываясь в крови, воздействуют непосредственно на кашлевой центр мозга и блокируют его. К ним относят - кодеин, этилморфин и прочие радости, которые иначе как без рецепта не достать. Есть и ненаркотические представители этой группы, известные под названиями глауцин, бутимират и др. Используются при сухом, непродуктивном кашле.

Едем дальше. Препараты периферического действия, механизм заключается в том, что всасываясь в кровь, эти красавцы раздражают чувствительные нервные окончания на слизистой бронхов, таким образом стимулируя процессы отхаркивания и выведения мокроты. Сюда можно отнести всеми трепетно любимые с детства сиропы солодки и алтея, а также большую часть травяных сиропов.  
Есть препараты смешанного типа, это само собой. 
Пресловутые травяные пастилки от кашля типа Доктор Мом, обладают обволакивающим действием, устраняя афферентную симптоматику типа першение, зуд, сухость, что в некоторых случаях тоже может вызывать кашель.
Ну и отдельной группой стоят муколитики, то бишь препараты которые влияют непосредственно на мокроту, разжижая ее. Механизм просто до безобразия - препарат всасывается, разрушается до цистина, диацетилцестина и прочих сульфидов, переносится с током крови к легким и разрывает мукополисахаридные цепи мокроты, из-за чего он становится более жидкой и выходит куда легче. Сюда относятся - ацетилцистеин, карбоцистеин. 

Если подводить итог, то первый этап действия всех препаратов, в т.ч. сиропов от кашля - всасывание в кровь. А вот куда его понесет дальше и что он там будет делать зависит исключительно от конкретного представителя лекарственной промышленности. Уот так уот. Не болейте.