Как доказать при трудоустройстве, что ты не лентяй, не тунеядец, работал неофициально, но на работу не берут (и высшее образование и навыки есть)?

Доказать - никак. Но шансы повысит, если 

1) проявлять активный интерес к будущей возможной работе - как косвенный показатель мотивированности; 

2) прямо говорить о своих минусах и плюсах для будущей работы (без самоуничижения, но - открытость, искренность в сочетании с вашей уверенностью, что вы сделаете всё возможное, чтобы освоить и принести результат - подкупают). 

3) Как вариант - согласиться на меньшую должность, чем ваша целевая, с меньшей оплатой, - именно чтобы на вас смогли посмотреть в роли сотрудника компании в принципе, - вашу исполнительность, добросовестность, активность и пр., - но чётко оговорить при этом перспективу перевода на вашу целевую должность и сроки, и ясные критерии перевода. Это в том случае, если на обычный испытательный срок по каким-то причинам не хотят брать.