Как доказать, что ты существуешь?

Коль скоро вы мыслите и ощущаете, значит, так или иначе наличествуете. Этот принцип давным-давно сформулирован Декартом (cogito ergo sum, что означает "мыслю -- следовательно, существую"). Это самоочевидно: несуществующее по определению не могло бы иметь каких-либо позитивных атрибутов, таких как мышление, память и квалиа (субъективные ощущения), ибо несуществование -- это чистое отсутствие чего бы то ни было. Вышеуказанный декартовский (или, как принято говорить, картезианский) принцип считается самым фундаментальным способом удостоверить своё существование на чисто логических основаниях. Такой метод познания называется априорным, т.е. не требующим обращения к внешнему эмпирическому опыту.

Так что если Вам было нужно просто удостоверить собственное чистое существование самому себе -- тогда задача решается тривиально.

Другое дело, если Вы захотите пойти дальше и уточнить следующие моменты:

1) как именно (т.е. в каком модусе) Вы существуете: физически, ментально или виртуально.

2) как доказать своё физическое существование (при условии, что таковое есть) другому субъекту.

К сожалению, чисто логическими (априорными) методами ответить на эти два вопроса невозможно, поскольку солипсизм логически неопровержим: даже если Вы доказали самому себе, что наличествуете как мыслящая сущность, Вы не сможете отсюда вывести, существует ли за пределами вашего разума какая-либо внешняя реальность, в которой вы телесно воплощены, и какого рода эта реальность: физическая или виртуальная в рамках другой объемлющей реальности (как в "Матрице"). С другим субъектом еще хуже: ни он вам, ни вы ему не сможете логически обосновать не просто свое физическое существование, но даже и факт наличия своего мышления и внутреннего ментального опыта, потому что такой опыт принципиально приватен.

Резюмируя: факт нашего собственного чистого существования удостоверяется априорно через декартовское cogito. Модус своего собственного существования (физический и т.д.), а также существования других субъектов (и их сознаний) недоказуем априорным путём. Все доказательства о нашей физической природе возможны только при наличии допущения о существовании внешней физической реальности. Это допущение является предметом нашей фундаментальной экзистенциальной веры.

Впрочем, более глубокий философский анализ солипсизма приводит к выводу о его бессодержательности: будучи доведенным до логического конца, он начинает отличаться от реализма лишь лингвистически. Но, поскольку язык реализма более привычен и удобен, нет причин ему не следовать. Интересующимся солипсизмом могу подкинуть годную статейку Мартина Гарднера "Почему я не солипсист".