Как, чёрт возьми, из 1/2 + 1/2 выходит целое число 1 и нафига? Я понимаю, но не понимаю.

В бытовом плане математика - это модель реального мира, которая позволяет оперировать не предметами, а абстрактными величинами.

Бытовой пример - Вася и Катя купили арбуз и хотят поделить его поровну.

Сколько арбуза будет у каждого из детей? Вот, как раз 1/2. При этом предмет меняется на абстрактное число 1, а части предмета - на дроби.

Понятно, что предметы можно не только разобрать, но и собрать вместе, получая целое, что и будет отражено как 1/2+1/2 = 1.

Итого - в быту все просто и понятно.

Продолжим рассуждать с точки зрения математики, получается следующее: есть у нас множество целых чисел (... -1, 0, 1, 2, ...). Их можно складывать, можно вычитать - все равно получится целое число. Если при применении любой из операций к любому набору чисел получается число из того же массива в алгебре такую структуру называют "кольцом".

Попробуем делить и умножать - и сразу выйдем за пределы кольца, так как есть операции, результатом которых будет уже не целое число - значит в отношении набора операций +,-, х, / целые числа кольцо не образуют, чего-то не хватает. Естественным образом появляются дробные числа (и, кстати, не только они).