Имеют ли право кассиры спрашивать документы при оплате банковской картой? Что делать, если документа при себе не оказалось?

Имеют. Они имеют право сверить подпись на карте и в паспорте. Или хотя бы удостовериться, что вы являетесь тёзкой и однофамильцем владельца карты.