Записывать имеет право, а вот получать прибыль - нет. Авторами песни обозначены её оригинальные авторы (в большинстве случаем - авторы текста и основной мелолии), поэтому прибыль должны и будут получать они. А любая попытка заработать на кавере будет расценена как нарушение авторских прав. Конечно, если нет договоренностей с авторами оригинала.