Являются ли математические аксиомы результатом рассуждений, или же рассуждения являются следствием аксиом?

А почему или – или? И то и другое верно, хотя в разных ситуациях слово «рассуждение» имеет разные оттенки смысла.

Развитие никакой области математики не начиналось с аксиом. Сначала набирается запас связанных между собою задач, их решают, вырабатывают полезные понятия, устанавливают интересные связи… По мере развития становится ясно, что нужно в этой области навести порядок. Для этого теорию ставят на аксиоматическое основание.

Откуда берутся эти аксиомы? И в результате рассуждений, и еще интуиции, и научного опыта. (В этом моем предложении слово «рассуждение» употребляется в бытовом смысле.) В любом случае при формировании теории на нее смотрят как бы «снаружи», рассуждают о ней со стороны. В этом смысле аксиомы получаются в результате рассуждений.

Например, теория вероятности существовала давно, а аксиоматику для нее построить сразу не удалось, хотя попытки и были. Скажем, аксиоматика, предложенная в начале XX века Бернштейном, оказалась не очень рабочей. Мощную аксиоматику построил А.Н.Колмогоров уже в середине XX века. Она стала общепринятой и подтолкнула развитие статистики и случайных процессов.

А вот когда аксиомы фиксированы, можно задать еще правила вывода (логические правила), основные понятия, и строить теорию строго: на основании аксиом по правилам вывода доказывать всякие теоремы. Это настоящие доказательства, а не какие-то там неформальные рассуждения. Такие доказательства строятся «внутри» теории, по ее правилам, они основаны на аксиомах.

В математике есть такая область — «Теория формальных систем». Она изучает свойства аксиоматических систем, такие как непротиворечивость, полнота, и т.д. Грубо говоря, это теория о теориях. В этой области строят строгие логические рассуждения (доказывают теоремы) об аксиоматических системах со своими внутренними рассуждениями (правилами логического вывода)...