Гиперответственность за здоровье близких — это вредное качество или полезное?

Гипер это крайность. А крайности это уже вредно. Адекватность проявления и соответствие ситуации - вот основные признаки полезности. И с ответственностью в том числе.

Адекватное проявление отвественности - полезно