Молодую русскую драматургию можно посмотреть и послушать на фестивале "Любимовка". Любимовка этого года уже прошла в сентябре, теперь у них на сайте можно почитать пьесы-участники этого года, а также прошлых лет.
С молодой зарубежной драматургией всё сложнее. Во-первых, там туго с доступом даже в том случае, если ты что-нибудь нашёл: его либо нет, либо он платный. Это главная проблема. Во-вторых, мониторить появление новых пьес тоже непросто. Мне помогает следить за репертуаром театров, смотреть, что готовится к постановке, причём не только в зарубежных театрах, но и в наших. К новым пьесам обращаются весьма часто, что-то и вовсе пишется непосредственно по заказам театров. В Театре Наций, например, в ноябре будет премьера по довольно свежей пьесе Дункана МакМиллана "Lungs", а в лондонском National Theatre прошла премьера спектакля по последней пьесе Мартина МакДонаха "Hangmen" (кстати, его ещё можно посмотреть в рамках проекта TheatreHD в России, и я его категорически рекомендую). Текст на английском можно найти здесь.
В общем, суммируя: зарубежную драматургию приходится искать кусочно, какого-то целенаправленного сайта, на котором появляются новые пьесы, я не знаю (что, впрочем, не означает, что его нет).
Надеюсь, чем-нибудь да помогла (: