Есть ли смысл учить языки в 21 веке, имея интернет, переводчик и приложения, помогающие понять язык иностранцев?

Как человек, изучающий четыре иностранных языка и не собирающийся на этом останавливаться, говорю с уверенностью - есть. 

Во-первых, вы развиваете своё мышление. Запоминание новых слов, понимание кардинально другой грамматики языка, его логики, практика иных норм фонетики - всё это способствует колоссальному развитию мозга. Мало того, что станете в определённой мере образованным человеком, так ещё и от Альцгеймера наперёд застрахуетесь.

Во-вторых, вы никогда не поймёте культуру и образ жизни других людей, если не будете знать хотя бы основ их языка. Это заложено в их особых выражениях, во фразеологизмах, даже в грамматике. Почему в славянских языках в предложении главным является существительное, а в вышедших из латинского - глагол? Почему в русском языке порядок слов свободный, а в английском - фиксированный? Почему в английском категория рода для неодушевлённых существительных присуща только слову ship (корабль)? Почему в испанском прилагательное непременно (за редким исключением, тоже весьма характерным, кстати) стоит только после существительного? Почему на китайском языке говорят с тонами, а не ударениями? Ведь всё это отражается на образе мышления и восприятии мира. Мало того, что иностранцев лучше понимать будете, так и сами по другому на вещи смотреть начнёте.

В-третьих, изучение иностранного языка помогает лучше понять и узнать свой. Например, когда я к экзамену по испанскому готовила лексику по теме "Кино и литература", выучила огромное количество новых специфических терминов, о существовании которых раньше даже не догадывалась. Про узкоспециализированные темы вроде "медицины", "инженерии" или "транспорта" я вообще молчу. Я в устройстве автомобиля разобралась только благодаря необходимости вызубрить четыре листа лексики на эту тему. А увеличение словарного запаса никому ещё не помешало. 

О мелких, но приятных сердцу преимуществах:

- не надо ждать премьеры дубляжа крутых фильмов (можно Игру Престолов раньше всех спойлеров смотреть,например)

-  можно читать литературу в оригинале, вы будете удивлены, как часто переводчики вырезают целые интереснейшие эпизоды из книг, особенно политической направленности

- в общении с иностранцами вы будете вызывать должное к себе уважение, демонстрируя знание их языка, завоюете авторитет и доверие, а это далеко ведёт и дорогого стоит

И вообще, язык - это живая и постоянно меняющаяся структура со своими особенностями, диалектами и деталями. И ни один компьютерный переводчик никогда не будет на 100% точным. Иногда в такой просак попасть можно из-за доверия технике, что от стыда долго отмываться будете