Есть ли на свете то, что не рождается и не умирает?

Понятия "рождение" и "смерть" в узком смысле относятся к миру живых существ (животные, растения, бактерии и т. д.), в широком смысле ко всей Вселенной и происходящих в ней событий. Так как вы написали "есть ли на свете", то тема сужается только к материальному миру, то есть миру вещей. К миру трансцендентальному и миру мыслей мы обращаться не будем.
В первом случае все живые существа рано или поздно умирают, даже "бессмертная медуза" с ее возможностью регенерации тканей все-равно обречена на смерть. Кроме того, помимо данной медузы существует бактерия Тихоходка. Она может выжить при высоких температурах, а так же при очень низких. Может жить без кислорода и солнечного света, может жить под воздействием высокой радиации, однако, ее лимит прочности и живучести так же ограничен.
Во втором случае так же ничего вечного во Вселенной нет. Галлактики, черные дыры, квазары и прочие явления космоса рано или поздно погибают. Если взять идею вечного двигателя, то его создание всегда сводилось к абсурду и провалу. У христианских теологов, к примеру, Томаса Аквианта, Вечным Двигателем является Бог, а данная тема к миру вещей отношения не имеет.
Если же брать саму природу целиком, а именно пространство, то есть космос, то это так же вопрос все еще открытый. Есть научная версия, кроме того она общепринятая, что материя и создает пространство. Тоже самое касается и природы времени.
Если все-таки отойти от науки и обратиться к философии, то просто обратите внимание на то, что все явления в окружающем мире когда-то были созданы\ когда-то возникли. Из данного факта можно сделать вывод, что все явления когда-то появились, по этому они когда-то непременно исчезнут.