Если война в Сирии и с Украиной ведётся для повышения рейтинга, сколько должно умереть русских солдат для повышения рейтинга на один процентный пункт?

В данном вопросе присутствует явное противоречие, так как цель войны не потери, но любая война – это потери (или их риск), поэтому правильнее отвечать на вопрос о возможной связи между потерями и поддержкой населения правительства, которое начало войну. 

Этот вопрос довольно часто рассматривался в научной литературе, теоретически и эмпирически. Для ознакомления предлагаю почитать книгу "Paying the human costs of war: American public opinion and casualties in military conflicts" Gelphi et al. (2009). В этой книге авторы спорят с устоявшимся предположением, что общественная поддержка участия в войне обратно пропорициональна размеру человеческих потерь. Данное предположение доминировало в политической науке еще со времен войны во Вьетнаме, когда Мао назвал Америку "бумажным тигром", подразумевая зависимость руководства США от общественного мнения при применении вооруженных сил, несмотря на всю военную мощь страны. Именно это подчеркивал Саддам Хуссейн во время войны в Персидском Заливе, когда говорил, что число человеческих жертв заставит Америку отступить, а не реальные поражения на поле боя. Однако авторы книги показывают на примере данных соц. опросов, что потери играют лишь второстепенную роль, в то время как ожидание успеха или поражения в войне в целом является более критичным фактором. 

С другой стороны исследование Gartner (2008) "The Multiple Effects of Casualties on Public Support for War: An Experimental Approach" показывает, что общественная поддержка напрямую зависит от числа потерь и также от динамики потерь. Исследование состояло из трех успериментов: лаборатоный эксперимент, "полевой" и панельный (опрос одних и тех же респондентов состоящий из нескольких волн). Участниками эксперимента были жители США, и их мнение было опрошено в двух первых экспериментах в связи с войной в Ираке, а в последнем в связи с гипотетической войной. Во всех экспериментах число и возрастающая динамика потерь были связаны с уменьшением поддержки военного конфликта. 

С другой стороны статья Berinsky (2007) приводит интересные аргумент впользу того, что общественная поддержка войны (напримере войны в Ираке и Второй мировой войны) в Америке зависит во многом от конфликта среди политических элит, в то время как простой обыватель не способен делать комплексно оценивать ход военной кампании. Этот эффект реализуется через средства массовой информации и публичные заявления политиков. Общественная поддержка будет высокой только если политические элиты имеют консенсус относительно войны. В свою очередь, простая публика только лишь улавливает и передает сигналы, которые получает от политических агентов. 

Как Вы заметили, большая часть политических исследований на эту тему основана на примере США, страны в которой общественное мнение – это важный элемент политики, а также существуют свобода слова и конкуренция в СМИ. В странах, где государство неподотчетно обществу или где СМИ могут прямо искажать информацию, такие исследования будут сталкиваться с определенными проблемами в идентификации эффекта, а также их выводы врядли будут востребованны, ведь война может делаться не только для рейтинга, а рейтинг может повышаться не только войной (да и что такое рейтинг в этих странах?). 

Понятно одно, что скорее всего число жертв будет психологически негативно восприниматься общественностью, если эти данные будут публиковаться и обсуждаться. С другой стороны это можно также компенсировать, если подчеркивать "справедливость участия в конфликте" и "успех военных действий" (и главное не сообщать о реальных расходах, о чем можно сделать вывод по статье  Geys (2010) "Wars, Presidents, and Popularity: The Political Cost(s) of War Re-Examined").