Здравствуйте.
Самый главный документ на автомобиль ЭТО ПТС (паспорт транспортного средства) имея его и договор купли продажи(ДКП) вы являетесь полноправным собственником автомобиля и имеете полное право поставить его на учет.
Если вы купили автомобиль по договору купли-продажи, продавец расписался в нем и в ПТС, то смело идите в ГИБДД и регистрируйте автомобиль. СТС является дублирующим документом ПТС поэтому все пройдет нормально и вам выдадут новый СТС.