Если представить бесконечно острый меч и воткнуть его в землю, то он будет бесконечно резать/воткнется в землю? Если сбросить его с самолета он пронзит землю?

Все зависит не только от того насколько меч острый и длинный, стоит учитывать и его термостойкость. Меч из железа или незакаленной стали, например, в случае более глубокого проникновения, чем на тысячу километров, вероятнее всего, расплавится еще в мантии Земли, не говоря уже о том, что он не достигнет ядра, температура которого ~6000 °С.

Можно, конечно, представить, что если меч бесконечен, то ядро будет увеличиваться пропорционально поступающему общему железа, но для существенных изменений (при обычном размере меча) потребуются миллионы лет.