Если я, вдруг, обнаружу малюсенький остров, которого никто еще не обнаруживал, могу ли я объявить его независимым государством и стать его президентом?

Теоретически - да. ))) И хотелось бы сказать - дело за малым, остается только его найти, но вот вторая часть вопроса не так-то проста. Президентом СЕБЯ не объявляют, это выборная должность. )))

Впрочем, можно назвать остров Тридесятым Царством. Хотя, конечно, у Царей тоже есть свои церемонии... )