Если гражданин имеет второе гражданство, может ли он избираться в органы власти и занимать государственные посты?

И да, и нет. 

ПОЧЕМУ НЕТ

Статья 16 ФЗ "О госслужбе" устанавливает ограничения, которые связаны с нахождением на государственной службе. В части 1 статьи сказано, что гражданин не может стать госслужащим или продолжать им быть в случае:

• Выхода из гражданства России или приобретении гражданства другого государства. 
• Если он уже является гражданином другого государства (или государств). 
  ПОЧЕМУ ДА

Однако в последнем пункте есть оговорочка: "если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации". Что это значит? 

Например, если говорить просто, Российская Федерация и Демократическая Республика Конго заключили между собой договор, в силу которого граждане обоих государств что-то там могут, например, как раз занимать государственные посты друг у друга. 

Таким образом, представляем ситуацию: гражданин ДР Конго Шабани Нонда хочет стать депутатом Государственной Думы. Но в силу статьи 13 того же закона он должен быть гражданином Российской Федерации. Из-за этого ему нужно получить гражданство России, а далее, как полноправному дееспособному гражданину, выдвинуть свою кандидатуру на выборах. 

Впрочем, это уже совсем другая история!