Нетрудно угадать ответ: 0,9. Достаточно обратить внимание на то, что из числа 0,81 легко извлекается корень, так что это не случайная цифра — она была поставлена в условие специально так, чтобы получился «красивый» ответ.
Для того, чтобы разобраться, не обманула ли нас интуиция, придётся вспомнить определения всех упомянутых в вопросе статистик. Для этого определимся с тем, в какой ситуации эти понятия возникают.
Пусть выборка состоит из n элементов, каждый из которых характеризуется значением результативного признака y и факторов x. В соответствии со значениями факторов выборка разбивается на k интервалов. Пусть mⱼ (j = 1..k) — число элементов в каждом из интервалов.
Тогда среднее значение результирующего признака можно посчитать двумя способами:
ȳ = Σ(i = 1..n) yᵢ/n = Σ(j = 1..k) mⱼ/n · Σ(i=1..mⱼ) yᵢ/mⱼ = Σ(j = 1..k) ȳⱼ.
Это равенство мы записали скорее для того, чтобы привыкнуть к записи математических формул в ЯндексQ и договориться о том, что ȳ обозначает среднее арифметическое, чем для того, чтобы приблизиться к решению задачи.
Пусть SSᵧ = Σ(i = 1..n) (yᵢ - ȳ)² — сумма квадратов отклонения результативного признака от среднего значения по всей выборке, а SSᵩ = Σ(j = 1..k) mⱼ · (ȳⱼ - ȳ)² — сумма квадратов отклонений средних по интервалам от среднего по всей выборке. В этих обозначениях корреляционное отношение η — это квадратный корень из отношения SSᵩ / SSᵧ.
Пусть SSᵣ = Σ(j = 1..k) Σ(i = 1..mⱼ) (yᵢ -ȳⱼ)² — это сумма квадратов остатков. В этих обозначениях коэффициент детерминации R² — это 1 - SSᵣ / SSᵧ.
Осталось проверить, что η² = R². Для этого придётся доказать, что
Σ(i = 1..mⱼ) (yᵢ -ȳⱼ) = 0. Попробуйте сделать это самостоятельно.