Скажу как руководитель отдела разработки - нет, не должен. Хороший программист должен уметь решать насущные проблемы программирования, уметь работать в команде и быть инициативным.
Может быть в какой-то специфической среде необходимо решать задачки типа "Летят два крокодила, один зеленый, другой налево. Сколько лет ёжику?" и всё это на чём-то супер-пупер инновационном. Вроде как в Гугле или еще каком продвигучем заведении. Но таких мало. И мест рабочих там ограниченное количество :-) А в нормальной жизни надо быть конкретным специалистом, не чурающимся, однако, новых горизонтов.
Не знаю, как лучше объяснить... Ну, вроде как вот летчики-испытатели, конечно, нужны, но гражданские лётчики - намного больше. И у этих последних нет задачи уметь летать на чём попало, вплоть до консервной банки, в условиях торнадо, в пикЕ и с горящим двигателем. У них задача - уверенно управлять несколькими типами самолетов с целью спокойно и надежно доставить пассажиров на место.
А вот кем Вы хотите быть - испытателем или гражданским пилотом - это уже Вам решать!
В каждодневной жизни программист такие задачи врядли решает. Но уметь их решать потому что очень многие компании любят задавать такие задачи на собеседовании.