Уравнения Эйнштейна необходимы для нахождения компонент метрического тензора пространства-времени.
Прежде чем решать уравнения Эйнштейна необходимо честно записать выражение для компонент тензора Риччи и скалярной кривизны пространства через производные метрического тензора в выбранной системе отсчета. Найти выражение компонент тензора энергии-импульса системы и подставить все в уравнения Эйнштейна.
В результате в общем случае получим 10 независимых дифференциальных уравнений уравнений в частных производных второго порядка на 10 неизвестных компонент метрического тензора пространства и времени.
Однако, если известны какие-нибудь свойства и симметрии в системе, то количество уравнений и неизвестных резко сокращается. Так, для получения метрики Шварцшильда необходимо решить 4 уравнения на 4 неизвестных. При этом часть уравнений является взаимозависимыми и поэтому могут быть исключены из рассмотрения, а анализ 4х неизвестных приводит к тому, что реально их остается только два.
Решение такой задачи можно посмотреть, например, в учебнике Ландау и Лифшица Теория поля. Том 2. Параграф называется "Центрально-симметричное гравитационное поле" . В издании 1988 г. это § 100, в других изданиях номер может быть другой.