ей-богу -- божба, утверждение истинности с призывом Бога в свидетели.
Относительно частицы "ей", это такая форма слова "да". Слышали в некоторых языках "да" как "йа"? Вот это она, наша общая частица.
Пруф от Фасмера, который наше всё. Удивительно, что до сих пор нет его словаря в нормальном для поиска доступе.
ей:
"поистине, так, конечно, ей-ей", ст.-слав. еи, ѥи ναί, болг. ей, сербохорв. eja "да", словен. éj, da je res "это, действительно, правда".
Образовано из е (см. е́ва) и дейктической част. -i, как др.-инд., авест. ī – энклитическая усилительная част.; греч. οὑτοσί̄, умбр. ī в po-ei "qui"; см. Бернекер 1, 263; Бругман, Grdr. 2, 2, 356.