На мой взгляд, формулировка вопроса немного некорректна, из-за чего вопрос можно понять двояко.
Если вы спрашиваете, как и почему происходит сам процесс деления ДНК на две нити, то здесь в работу включается большое количество белков. Одни белки сначала расплетают двойную нить ДНК, другие белки затем помогают синтезировать для каждой одиночной нити вторую половинку и прочно скреплять новые нити ДНК.
Если вы спрашиваете, почему ДНК начинает делиться в принципе, то есть, что запускает в клетке деление ДНК, то начнем с того, что жизнь любой клетки от деления до деления проходит через несколько четко обозначенных стадий - стадий клеточного цикла. На одной из стадий, предшествующей началу деления, в ядро подается сигнал, который говорит о том, что нужно начинать деление имеющейся ДНК, чтобы ее хватило на будущие две дочерние клетки.