Прежде, чем сформулировать Парадокс лжеца так, чтобы читатель не чувствовал себя обманутым, необходимо договориться о терминах. Предположим, что любое утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Это предположение выглядит правдоподобно для простых утверждений: "Голубь - это птица", "Дома у Васи живёт кот". И для более сложных утверждений наше предположение тоже выглядит правдоподобно: "У Васи дома живёт кот или собака", "Все лебеди - белые". Но, по мере усложнения утверждений, у нас возникнет больше сомнений в том, что наше предположение верно: "Я знал, кто станет 45-м президентом США ещё до выборов" - можем ли мы установить, является ли это предположение истинным или ложным?
Парадокс лжеца, это простой способ решить судьбу нашего предположения раз и навсегда. "Это утверждение ложно" - является ли это утверждение истинным или ложным? Если наше предположение верно, то обязательно один из двух вариантов должен выполниться.
Допустим, что это утверждение истинно, значит то, что утверждается, верно, значит это утверждение ложно. Это - противоречие, ведь мы предположили, что любое утверждение может быть либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно.
Допустим, что наше утверждение ложно, значит то, что утверждается, не верно, значит это утверждение не ложно. Вновь наше предположение наталкивается на противоречие.
Мысль о том, что существуют утверждения, истинность которых невозможно определить, противоречит нашей интуиции. Это противоречие порождает конфликты в обыденной жизни и двигает вперед науку.
Размышляя об этом противоречии, мы легко придем к сомнениям в познаваемости мира. Глядя на успехи науки, можно подумать, что достаточно всё точно измерить и выписать все законы природы, чтобы определенно ответить на любой вопрос о прошлом и будущем от самых насущных, как "Кто съел все сливы?" до самых общих:"каков возраст Вселенной?". В начале XX века наука получила два важных результата, благодаря которым мы можем перестать беспокоиться о познаваемости мира. Первый результат - Принцип неопределенности Гейзенберга - показал, что существует положительный предел точности измерений. Второй результат - Теорема Гёделя о неполноте - показал, что в логических теориях существуют утверждения, истинность которых невозможно проверить в рамках самой теории. Причем речь в теореме Гёделя идет не о каких-то экзотических примерах логических теорий, а о любой теории, в которой можно выразить сложение и умножение натуральных чисел.
Ещё один важный парадокс, очень похожий на Парадокс лжеца, показал, что теория множеств, это не просто упражнение в переписывании формул, а важный раздел математики. Этот парадокс звучит так: "Если элементами некоторого множества являются все множества, которые не содержат сами себя в качестве элемента, то содержит ли это множество само себя?" Точно также как в случае с парадоксом лжеца мы можем рассмотреть два варианта и убедиться, что оба варианта приводят к противоречию. Таким образом, мы придём к выводу о том, что такое множество не может существовать. Знание о том, что не все множества, которые можно определить, существуют, позволило математикам развить целое направление в своей науке, суть которого - в поисках языка, с помощью которого можно определить только те множества, которые могут существовать.
Этот варианта Парадокса лжеца был впервые опубликован британским ученым Бертраном Расселом в книге Принципы математики в 1903-м году.
Спасибо за замечание. Попробую переформулировать.
Всё верно, только последнее – не решение парадокса, а другое высказывание (истинное).