На данный момент в школах Москвы приличное количество учителей работает без профильного педагогического образования.
Да, переподготовки достаточно, но важно еще пройти собеседование, а если школа топовая - это не так просто.
Необходимо высшее профильное или педагогическое образование. Возможно необходимо будет пройти дополнительные курсы по ФГОС (1-3 месяца) или переквалификацию (от 6 месяцев).