Нет совершенно никаких запретов. Если и есть - то они не более, чем суеверия. Часто можно услышать отсылки к канонам веры, которые должны регламентировать этот процесс. Но если обратиться к Библии, то, разумеется, ничего подобного там не написано.
Единственное, чем стоит руководствоваться в этом вопросе - ваши личные убеждения.
Кому-то сложно видеть эти вещи - тогда их можно раздать, отнести в благотворительный фонд. А кто-то оставит их себе на память.
Всё остальное лишь суеверия.
Священники наоборот не рекомендуют класть с усопшим посторонние предметы (часы, украшения, даже очки и прочее). Только крестик.