Что начать делать 16-летнему школьнику, желающему стать программистом?

Сперва нужно изучить потенциальный рынок трудоустройства, выбрать перспективное направление, а уже потом начинать в нём двигаться. Решили начать движение самому (а-ля, долой курсы) — учитесь правильно, как это не странно, но нужно научиться учиться. Если собираетесь читать какую-то книгу (особенно книгу по изучению нового языка программирования, хотя и к другим книгам области «обучение» применимо) — придумайте себе задание, которое можно было бы делать в параллель чтению, или, на крайний случай, набирайте примеры кода из книги. И, в конце концов, не учите всё и сразу, доводите до хорошего уровня начатое. Оценку «достаточности» уровня можно провести весьма просто:

1) идём на любой фриланс сайт, ищем полноценный проект и пытаемся реализовать его самому, на сроки выполнения обратить внимание тоже было бы не плохо;

2) придумываем себе сами такой проект, если фантазии хватает

Если смотреть по лёгкости и простоте языка, для начала начни изучать что-нибудь простое, например Python или Java. Если хочешь идти по пути разработчика мобильных приложений, то Java (Android) и Objective-C (iOS). Windows Phone не рассматриваем в принципе, проигрывает конкуренцию двум гигантам.

Если изучить зарубежные рейтинги языков программирования, то одними из популярных будут Java, JavaScript, PHP, Python, C / C++.

Также подтяни свой уровень английского, он нужен везде.

А по поводу того, нужна ли математика программисту или нет, отвечу, конечно нужна! Как основная базовая программа (школьная), так и университетская (хотя бы первые 2 курса). А вообще по поводу этого вопроса есть шикарная статья на хабре: habrahabr.ru

Удачи!