Познакомиться.
Проявить интерес = Начать ухаживать.
Пригласить на встречу, где будет много знакомых людей.
Пригласить на свидание...2, 3, 4...
Узнавать друг друга с разных сторон, если все устраивает и она явно к Вам тоже испытывает симпатию, предложить встречаться.