Начнем с того, что отдельно гипотезу Пуанкаре не доказывали. Ее истинность следовала из решения одной задачи классификации, над которой работало много народа, а завершил решение Григорий Перельман.
Классификации очень важны, потому что приводят наши знания в систему, позволяют все расставить по полочкам.
Вот Менделеев сумел классифицировать все химические элементы -- расставил все по свом местам в таблице; это было серьезное продвижение в химии. У таблицы Менделеева нет непосредственного бытового применения, на хлеб ее не намажешь, ее значение научное, а не бытовое.
В математике тоже все расставляют по полочкам -- конические сечения, замощения плоскости правильными многоугольниками, виды треугольников, функций, уравнений, тел вращения и т.п. Классификации есть и в других науках.
Теперь ближе к гипотезе.
Давайте посмотрим на "хорошие" двумерные поверхности ("хорошие" -- это компактные ориентируемые без края). Чтобы не объяснять эти трудные слова, я просто нарисую, чего НЕ должно быть:
Оказывается, все хорошие поверхности можно классифицировать, любая из них эквилвалентна поверхности сферы, возможно, с несколькими ручками.
Вот для примера сфера с тремя ручками:
Все хорошие двумерные поверхности к чему-то такому приводятся, меняться может только число ручек. Этот результат известен с XIX века.
Аналог двумерных поверхностей -- трехмерные многообразия, их так просто уже не нарисуешь. Среди них есть и трехмерная сфера (это НЕ поверхность трехмерного шара); гипотеза Пуанкаре о том, как характеризовать трехмерную сферу. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия -- этот путь принято называть программой геометрзации Тёрстона. Над ней работало много математиков, и последний этап завершил Григорий Перельман.
Удалось расклассифицировать все хорошие тремерные многообразия. Гипотеза Пуанкаре как бы описывала одну ячейку этой классификации.
Как ни странно, многообразия более высоких размерностей были классифицированы еще раньше; так что математики как бы завершили создание "таблицы Менделеева" для хороших многообразий. В этой таблице нашлась клеточка и для 3-сферы, которую пытался характериовать Пуанкаре.
Mat M., А что такое матиматика вообще ???? У меня определние что математика это наука об отношениях между объектами, с наделёнными свойствами в качестве аксиом положеных в основание. И как не доказательство гипотезы Пуанкаре это математика ????
Математики так все расставили по полочкам, что давно уже ничего не понимают в своем математическом хаосе. Без научной методологии математики со своими нагромождениями не смогут разобраться.
Петр Л., набор слов. Поздравляю. Писать Вы точно научились.
К сожалению на русском языке не появилось (и это с 2002г) нормального (не попсового) изложения доказательства, хотя квалифицированных топологов хватает. Могли бы хотя бы перевести имеющиеся западные разборы д-ва (типа Lott +). У самого Перельмана в интернет текстах - все крайне, мягко говоря, сжато (что повлекло большие споры о корректности д-ва у проффесионалов по миру). Сам же на все забил, находясь, между прочим, у нас - в Спб.
Не фигня ли какая-то? Где эта РАН (вся из ран)?
Есть возможность применение топологии в практических целях. Я бы назвал это направление как топологическая морфометрия. Все дело в метрике. Если правильно ее найти то задача применения топологии в практических целях решаема.
Это значит, что тороидальность объекта может быть поставлена в соответствие его геометрической бесконечности?
Надо ещё про односвязность рассказать и добавить, как она входит в конкретную
формулировку гиротезы Паункаре, это исключит из рассмотрения торов и сфер с ручками.
С Менделеевым всё понятно, нужное дело сделал человек. А в чём смысл математики разложить всё по полочкам? Какая практическая польза от этого?Если гипотезу Пуанкаре доказать или не доказать не удастся, то без этого жить нельзя? Мне кажется это такой же глупостью как е=мэсэ2. До сих пор идут споры про то, о чём собственно эта формула и что бы было если бы её не было вовсе. Так я вам открою секрет. Ничего бы не было. Она вам не нужна от слова вовсе. Ценность этой формулы - нулевая. Так же и с Пуанкаре. Я понимаю, математикам нужно поупражняться в развитии ума, пусть упражняются (в свободное от работы время), но для человечества это ценности не представляет никакой.
hmansy, е=мэсэ2, как Вы выразились, очень даже важна. Скажем, это основа при расчете энергии от взрыва атомной бомбы. А без атомной бомбы, согласитесь, жизнь была бы скучна...
ЭЭЭЭ.... Ну во первых, из общих соображений, из бублика можно создать Колобок. Ну там ... смочил водой и слепил. К Перельману отношусь с Уважением. Если сие с тчк зр математиков не так - то, об является "парадокс", когда два и более решения приводят к разным ответам. Поскольку "Правда всегда одна" - надо искать ошибку в исследуемых вариантах.
Думается, что офизичивание математики (а я этим также через эксперим данные /через теорию и практику/ через (посредством) моделирование и др занимался весьма успешно..) вполне м.б использовано ( Да и др примеров ДОСТАТОЧНО! Включая ОТО/общ. теор. относит. А. Э./ и его "применение далее...")..НО не является УНИВЕРСАЛЬНЫМ... Вопрос "офизичивания" нам( Ч) вообще свойственен ... Но он "совсем не безобиден"! ... Кроме того ( это д полезно знать) известно отношение Пуанкаре к Кантору ( не лично, а по отношению к " финитности" связ с теорией множеств) ..Есть и выражение Пуанкаре--не привожу -сами посмотрите...Так что к " математике --"примешивается " логика ..И почти везде мы сталкиваемся с философией математики ( три школы самих основ математики ..Логистов (Рассел), Интуитивистов (Брауэр) вкл конструктивную математику (например и наш Колмогоров) ...и ФОРМАЛИСТОВ с великим Гильбертоми др. ...И наконец новое вообще в "мышлении" -- Карл Гёдель ( Тарский, Чёрч и др)...Так что --НЕ СКОЛЬЗИТЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ...
Много, много дала она человечеству. Например, электрический чайник и унитаз.
Вообще-то у таблицы Менделеева помимо научно есть ещё широкое технологическое и промышленное применение.
Не понятно, почему доказательство гипотезы Пуанкаре должно было что-то дать "человечеству"? Математика "человечеству" ничего не должна, "человечество" для математики не представляет особого интереса. Точнее, никакого.
А как же ТерВер?
Ядерной войны никогда не было иначе как фантазиях.
Минусовые никогда не крутили бублики. Это прискорбно рребята..🤣