I ба́ю ба́ять, ба́ить "говорить", укр. ба́яти "рассказывать", русск.-цслав. баю, баяти "рассказывать, заговаривать, лечить", болг. ба́я "колдую", сербохорв. ба̏jати "колдовать", словен. bájati "болтать, говорить, заклинать", чеш. bájiti "говорить, болтать", польск. bajać "болтать", в.-луж. bać – то же, н.-луж. bajaś.
Вообще есть такое слово - "байка". На украинском она означает сказочную историю. Может, кстати, и на русском тоже. Так что ноги слов "баю-бай" растут именно отсюда - от старорусского говорить, рассказывать. Не забывайте что народные сказки и были- это просто сокровищница древних слов и терминов.
А как насчёт "баю"= "говорю"? Бает= говорит!
Про Кот-баюна что то не понял, не знал о таком, я о нем всегда лучше думал :(
Теория N1 (от независимого эксперта)
Баю-бай - чтобы тебя ночью не забрал бабай
Теория N2 (от профессора древнегреческой филологии Тигра Тиграновича)
Баю-бай - в переводе с древнегреческого означает "бай то бай"