С биологической точки зрения нет никаких отличий. Есть представление о том, что стая - это группа хищных/более разумных особей с распределенными ролями каждой, а в стадах пасутся мирные, травоядные и более примитивные животные. Представление это, конечно же, совершенно не обосновано, так как и в стадах, и в стаях, есть определенная системность. В большинстве случаев группы китов называют стадами, несмотря на хищный тип питания некоторых китообразных. Всеядные кабаны также собираются в стада. Толпу рыб тоже чаще всего именуют стаями, но они довольно неразумны (относительно, конечно).
Но, наверное, со стороны лингвистики разница все же есть. Есть одно предположение, но оно было бы слишком простым. Возможно, все дело в типичных представителях стай и стад вроде волков и овец. Волки многими рассматриваются как более сложные, более умные и интересные животные, а овцы или коровы - ровно наоборот. Не последнюю роль в этом сыграли аллегорические образы нашего фольклора, я думаю. Вот как-то так оно и получается, что "стадо людей" - это грубое наименование глупых и покорных, а "у нас с братанами стая" - это классно и брутально)
Стая-это птицы, которые летают, а не стадо, которое пасётся.