Кофе содержит немного кофеина, который:
вызывает расширение кровеносных сосудов (преимущественно сосудов скелетных мышц, головного мозга, сердца, почек)
поэтому
В медицине кофеин применяется в составе средств от головной боли, при мигрени, как стимулятор дыхания и сердечной деятельности при простудных заболеваниях, для повышения умственной и физической работоспособности, для устранения сонливости[3].
Также, если кофе с сахаром, а у вас его не хватает, то это тоже может снять головную боль.
А разве они схожи? У них разные действия. Кофе я пью для удовольствия, для бодрости, а болеутоляющие - чтоб снять боль. Никакого удовольствия при этом я не получаю...