"Независимым кино" обычно называют фильмы, снятые без участия крупных студий. В первую очередь такая классификация распространена в США, где сложился большой разрыв между т.н. студиями "большой шестерки" (Уорнер, Парамаунт, Фокс, Коламбия, Юниверсал, Дисней) и всеми остальными. У независимого кино там была долгая и интересная история, но в конце концов сложилась своя развитая индустрия со съемками и дистрибуцией без участия студий-мейджоров (зато, например, на независимом кино специализировались Miramax), фестивалями (Сандэнс), наградами (Independent Spirit Awards), режиссерами, работающими в разных жанрах, но в независимом кинематографе (включая, например, комедии Кевина Смита или Ричарда Линклейтера, но вообще там можно найти любые жанры).
Артхаусом называют фильм, ориентированный на элитарную аудиторию, то есть предположительно сложный для понимания, имеющий эстетическую ценность, возможно шокирующий и т.д. Часто это еще совмещается с особым способом проката: через фестивали и кинотеатры, специализирующиеся именно на такого рода фильмах (как московские "35 мм" и "Пионер").
Если смотреть, как эти понятия пересекаются, то архтаусный фильм скорее всего одновременно можно будет отнести к независимому, а вот термин "независимое кино" гораздо шире и включает еще массу фильмов, никем и никогда не классифицируемых как артхаус.
"Независимое кино" - это экономическое понятие. Оно обозначает, что кино снято "на свои деньги" и/или на деньги, собранные по друзьям-знакомым-родственникам. Артхаус - это жанр (форма, определенный кино-язык).